数A [数と式]より

質問

４つの連続した正の整数の積は２４の倍数になることを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.4

taropoo · ベストアンサー

２つの連続した数のうち１方は２の倍数です。
３つの連続した数のうち１つは３の倍数です。
４つの連続した数のうち１つは４の倍数です。

したがって４つの連続した数の中には２の倍数と３の倍異数と４の倍数が含まれるので、その積は
　　　　（２の倍数）×（３の倍数）×（４の倍数）＝（２４の倍数）　　　　…（証明終）

同じように考えればもっと一般の場合にも同じような事が言える事が分かります。
すなわち、ｎ個の連続した数の積は、１からｎまでの数の積の倍数となります。
数学的帰納法で出来ますからお時間があったらやってみてください。

お礼

数学的帰納法の存在を忘れていました。
なんとか出来そうです。ありがとうございました。

回答No.5

brogie

次のような関係が成り立つようです。
証明は数学的帰納法で良いでしょうか？
それなら簡単に証明できます。

N1＝n・・・・・・・・・・・・・・・・1の倍数
N2＝n(n+1)・・・・・・・・・・・・・２の倍数
N3＝n(n+1)(n+2)・・・・・・・・・・・6の倍数
N4＝n(n+1)(n+2)(n+3)・・・・・・・・24の倍数
N5＝n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)・・・・・120の倍数
N6＝n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)・・・720の倍数
・・・・・

では、証明は、ご自分でやってみてネ。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
数学的帰納法でやってみます。

回答No.3

nabayosh

ここは宿題の回答を求めるサイトではないですよ。
まあよいです。
ヒントだけなら。
まず、１つめの数をｎとします。
その次の数はｎ＋１、ｎ＋２、ｎ＋３になります。

まず、ｎが４で割った時のあまりを考えると、４つのうちどれか１つは４の倍数だってわかるはずです。
そして、それに２を足す（引く）したものは必ず２の倍数です。
同じように、どれかは３の倍数になります。
（４の倍数）×（２の倍数）×（３の倍数）＝？

ということでしょう。

お礼

＞ここは宿題の回答を求めるサイトではないですよ。
すみません。
参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

a-kuma

4つの連続した正の整数ってことは、

・４の倍数が一つだけ含まれる（４つごとに現れるから）
・４の倍数以外の２の倍数が一つある（４の倍数の二つ前か二つ後）
・３の倍数が最低一つ含まれる（３つごとに現れるから）

ので、４×２×３がくくり出せるから、２４の倍数。

式で表現すると、

・３の倍数が奇数のとき

４・ｎ×２・ｍ×３・ｋ×（残り）

・３の倍数が４の倍数のとき

４・３・ｎ×２・ｍ×（残り）

・３の倍数が４の倍数ではない２の倍数のとき

４・ｎ×２・３・ｍ×（残り）

＃ 数学の証明らしい表現じゃないんだけど　(^^;

お礼

なるほど…このような証明の仕方もあるのですね。参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

jun9031

連続４整数の中には必ず、２の倍数、３の倍数、４の倍数が含まれます。そのため２×３×４＝２４の倍数になるんですが、そのことをうまく言葉と式でもっていけば大丈夫でしょう。とりいそぎこんなかんじで。

お礼

早速のリプライありがとうございました。なんとかして言葉と式で証明したいと思います。