円の方程式など

質問

やっぱり自分では解けませんでした。

１、次の条件をみたす円の方程式を求めよ。
(1) 3点(0,1),(2,3),(-1,2)を通る

２、次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心が直線 y=-x+5上にあり、原点と点(-1,2)を通る円

(2) 2点(0,1),(1,8)を通り、x軸から長さ6の線分を切りとる円
　　（ただし、中心が第一象限の円）

３、次の円と直線の位置関係（異なる2点で交わる、接する、共有点がない）を
　　調べ、共有点がある場合は、その座標を求めよ。
(1) x＾2＋y＾2=4,x-y=2√2　　

４、円 x＾2+y＾2=4と直線y=mx+4について、次の場合の定数mのとりうる値の
　　範囲を求めよ。
(1)　異なる2点で交わる
(2) 共有点がない

　よろしくお願いします。

回答No.2

ume_pyon

やはり私もヒントだけ。

まず、円の方程式の考え方の鉄則。
その1
『円の方程式といったら、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2あるいはx^2+y^2+lx+my+n=0を使って解け。
3点が与えられている場合は後者、それ以外はたいてい前者を用いる。』
その2
『共有点といってまず考えるのは、2つの式を連立せよ。その結果できあがる二次方程式に
ついて、判別式Dを考えよ。それが、D>0なら共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個。』

とまあ、鉄則だけならこのくらいです。これだけを頭に入れれば、大抵の問題はできます。
要は、どうやってこの鉄則に帰着させるかってことです。そればかりは問題慣れをするしか
ありません。

１．
多分教科書には載っていると思うのですが。私がかつて使用していた学校指定の教科書には
載っていましたよ。
一般に、３点が与えられていて、それから円の方程式を求めるには、
x^2+y^2+lx+my+n=0
という一般式に代入すれば解けます。
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
でも解けますが、これでは計算が難しくなります。

２．
(1)要は、円の方程式
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
をどう考えるかです。それが円の方程式を解く一番のポイントです！

この場合、中心がy=5xの上にあるのですから、中心座標は(a,5a)となるはずですよね。
ってことは、b=5aですよね。あとは残る2点を代入して連立方程式を解けばよいのです。

(2)これは応用問題で、多少頭を使わないとできませんね。そこで、どこに目をつけるかを
考えます。まず、2点が与えられている時点で、これらを円の方程式に代入すれば、2つの式が
できますよね。
次に長さ6をどう使うか。だったら、実際に図を書いてみましょう。図を書くのは、関数の問題の
大鉄則です！！

そこで、実際に中心からx軸に垂線を下してみましょう。そうすると、斜辺がr、底辺が3、
高さがbの直角三角形が作図できますよね。「直角三角形」といえば？これにより、
合計3つの式ができます。あとはそれらを連立して解けばよろしいです。
なお、この連立方程式は多少骨が折れる計算ですので要注意。ヒントは、r^2を消去して
計算することです。そうすると、なんとか計算ができます。

ちなみに、これに関してはたしかもっとよい解き方があったような気がしますが、
忘れちゃいました。スイマセン。

３．
「交点(共有点)を求めよ」＝「連立方程式を解け」
これだけです。そうすると、y=x-2√2より、おそらく
x^2-2√2x+2=0
という二次方程式ができあがると思います。これを解の公式で解いてみて下さい。

４．
「共有点といえば、判別式Dを思い浮かべよ！！」これが鉄則。
判別式D=b^2-4ac>0なら、共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個です。本問の場合、
連立方程式で解くと、
(1+m^2)x^2+8mx+12=0
という二次方程式が得られます。a=1+m^2,b=8m,c=12です。

(1)共有点が2個←→D>0
これを解けばよいのです。
ちなみに、二次不等式の解き方は覚えていますか？わからなければ補足して下さい。多分、
他の方が計算して下さると思いますが＾＾；

(2)省略します。(1)ができれば(2)もできるでしょう。

ここで、「共有点とは何ぞや？」と思われましたら、以下をお読み下さい。
試しに、
ax^2+bx+c=0
という二次方程式の解について考えましょう。
x=(-b+√(b^2-4ac))/2,x=(-b-√(b^2-4ac))/2,

という2つの解ができますよね。関数においては、この解が共有点、つまり交点ですよね。
じゃあ、このxの値について考えてみましょう。ポイントはルートの中身です。
もし、ルートの中身が0だったら、xの解って1つだけですよね。計算してみれば一目瞭然です。
また、ルートの中身がマイナスってことはありえないはずです。だって、それがルートの
定義でしたからね。（複素数を無視すれば）ってことは、この状態では解がないのです。

で、このルートの中身b^2-4acって何か？これがまさしく判別式Dに相当するのです。
だから、もし「共有点の座標を求めよ」という問題でなく、共有点の数を調べよ、といわれたら、
単にこのルートの中身、つまり判別式Dを考えればよいのです。
いってしまえば、判別式Dとは、「解の数を判別する式」なのです。