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凸レンズのパラドクス

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お礼率 77% (304/391)

自分の視点を中心として、そこからある一定の距離(半径)をとり、同心円状にある物体を隙間なく並べます。
その一個の物体の幅は、自分の視点から見て視角10度とします。

この物体を、その同心円上に隙間なく並べると、36個(10度×36=360度)並びます。
そこで、自分の視点とその物体の間に凸レンズを置きます。

このレンズは、自分の頭とつながって固定されていて、視点の動きとともに一緒に動きます。
このレンズと対象物、レンズと視点の間の距離は常に一定で、このレンズは対象物を2倍の視角に拡大する能力を持っています。
レンズを通して、この物体を見ると一個の物体の視角は20度となります。

そのまま、ぐるりと一周しながら、レンズを通してこの物体を見ると一個の物体の幅の視角は20度ですから、36個全部の物体を見るためには、20度×36個=720度、即ち2周、回らなければなりません????。


レンズによる拡大の程度は、常に視角で評価することにして、(別に2倍でなくても拡大さえすれば何倍でもかまいません。)幅の長さでは評価しないことにします。

長さで評価すると、レンズが動くときに拡大した分だけ対象物が速く動くから常に360度の中に収まるということになりますが、視角で評価すると対象物の動く速さは関係なく、常に(?)(対象物の視角)×(個数)分の角度、まわらなければなりません。

どこが間違っていますか。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.11


まず、実体験出来る方法としては、
・カメラ(f=100mmが大体視野角2倍程度でしょう)
・ビデオカメラ
・双眼鏡
・望遠鏡
などなどあります。
倍率が高いとよく手ぶれがおきやすくなるのは、自分とカメラの動きに対して視野内の像の動きが倍率分だけ早くなるためです)

さて、どのように説明したら良いのかについて考えてみました。
最も考えやすいのは十分大きい凸レンズが一枚あり、目のレンズ位置(正確には主点位置=レンズの中央で近似してかまいません)と凸レンズ位置(主点位置)の距離が、凸レンズ位置(主点位置)と物体までの距離と等しい場合で、かつレンズの焦点距離がレンズ位置(主点位置)と物体までの距離に等しい場合です。

この場合の作図は(ちょっと近似的ですが)、
レンズの主点位置から物体の両側までそれぞれ線を引きます。
次に目の主点位置を通り、かつ上の2本の線に平行な線を引きます。
この線の角度は約±10度(つまり視野角20度)になっていると思います。
これが、物体が視角20度で見えるという意味です。

自分の目の光軸が10度回転したとします。(頭を10度回転させると言うことですね)
このときにはレンズも一緒に回転させるわけですから、光軸自体は10度しかずれません。
なので360度で一蹴します。

では見えている像はどうなるのか。よくよく考えてみて下さい。レンズは目と物体の中間にあり、レンズは物体に対して位置がずれています。
つまり、単に角度の問題ではなくて、レンズの位置自身がずれたためにその分視野角の移動以上に像は移動します。
ここを考えないと視野角のつじつま合わせの計算では成立しなくなってしまうわけです。
これがパラドックスの正体となります。

これをもう一度おさらいすると、
1)レンズがないときには、視野角は目のレンズの主点位置を基準として視野角が決まる。
2)しかし、レンズがあるときには、レンズの主点位置を基準点として視野角が決まる。
 (視野角を考えるための基準点がレンズに移動する)
3)目とレンズが同時に移動すると、目の見ている中心が移動するだけでなく、視野角の基準点自体が回転移動してしまうので、目に映る像の移動量は、単に視野が回転したとき以上に移動する。

初めの説明で混乱していたらごめんなさい。言葉で説明するのは難しいですね。
では。
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

ご丁寧な回答をありがとうございました。「視野角の基準点自体が回転移動」という言葉で霧が晴れた感じです。

それはさておき、
???確か、夕方覗いたときは、少し違った文章だったような気がするのですが。
確かに、No11の回答が消えているし、私の認識では、一度投稿するとよほどの理由がない限り回答を消せないと思っていましたが、なにかからくりがあるのでしょうか。凸レンズの謎より興味深いですね。
投稿日時 - 2001-08-08 00:00:47
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  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 23% (20/86)

>レンズの中の視界が、720度回転するということは、レンズの中では2回転している?ということでしょうか。 本来は視角10度の物体が、レンズの中では視角20度に見えています。1つめの物体が正面に見えている状態から、頭を10度回転すれば2つめの物体が正面に見えるのでレンズ内は20度回転したことになります。 ということは、レンズ内では1周が720度ということですね。 ...続きを読む
>レンズの中の視界が、720度回転するということは、レンズの中では2回転している?ということでしょうか。

本来は視角10度の物体が、レンズの中では視角20度に見えています。1つめの物体が正面に見えている状態から、頭を10度回転すれば2つめの物体が正面に見えるのでレンズ内は20度回転したことになります。
ということは、レンズ内では1周が720度ということですね。
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

この場合の視角の定義は、レンズの中の対象物の両端と自分の視点を結ぶ直線が、視点の部分でつくる角度のことです。ですから、720度というと,二回転してしまうのですが?
投稿日時 - 2001-08-07 14:57:54
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

ご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-08-08 00:11:56
  • 回答No.6
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

>頭を10度、回転しているうちに、 >レンズの中の像が20度回転すると、 >レンズの中の像はどんどん先に行って、 >見えなくなってしまいませんか。 頭が10度回転する時に、レンズの中の像は20度回転していますので、先に行くことはありません。レンズを通してみる像は2倍のスピードで移動しています。 同じスピードなら、どんどん先にいくでしょうが・・・ ...続きを読む
>頭を10度、回転しているうちに、
>レンズの中の像が20度回転すると、
>レンズの中の像はどんどん先に行って、
>見えなくなってしまいませんか。

頭が10度回転する時に、レンズの中の像は20度回転していますので、先に行くことはありません。レンズを通してみる像は2倍のスピードで移動しています。
同じスピードなら、どんどん先にいくでしょうが・・・
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

どうしても疑問なのですが、今同心円を考えていますので、毎秒動く角度は頭も,レンズの中の対象物も同じでなければ、ずれていってしまうのではないでしょうか。
投稿日時 - 2001-08-07 15:01:39
  • 回答No.4

レンズを使用することにより、視角が2倍になるということは、 その物体までの距離がおおよそ(あくまでもおおよそね!)半分になると いうことですよね。 つまり、レンズを付けて1周するということは、r/2の円周上を1周するのと同じことです。 だから、視角が2倍になっても、物体の数は変わりません。 パラドックスの原因は、"レンズによる視野の変化を距離に変換していない点" でしょ ...続きを読む
レンズを使用することにより、視角が2倍になるということは、
その物体までの距離がおおよそ(あくまでもおおよそね!)半分になると
いうことですよね。
つまり、レンズを付けて1周するということは、r/2の円周上を1周するのと同じことです。
だから、視角が2倍になっても、物体の数は変わりません。

パラドックスの原因は、"レンズによる視野の変化を距離に変換していない点"
でしょうか。

間違ってはいないと思いますが、、、
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

角度で評価をすると、視点からの距離に関係なく、視角が2倍になると見える物体の数は、半分になるような気がします。
投稿日時 - 2001-08-06 23:48:18
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

ご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-08-08 00:12:38
  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

いやいや、本当に、おもしろ考えですネ。小生などは考えつきません。しかし、答えは分かるような気がします。 あなたは、頭を10度回転すると、レンズを通して見える像が20度回転しているだけです。頭を20度回わす必要はありません。 ですから、頭はゆっくり回っていても、レンズを通してみる像は2倍のスピードで移動しているように見えるだけです。 では、、、 ...続きを読む
いやいや、本当に、おもしろ考えですネ。小生などは考えつきません。しかし、答えは分かるような気がします。

あなたは、頭を10度回転すると、レンズを通して見える像が20度回転しているだけです。頭を20度回わす必要はありません。

ですから、頭はゆっくり回っていても、レンズを通してみる像は2倍のスピードで移動しているように見えるだけです。

では、、、
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

頭を10度、回転しているうちに、レンズの中の像が20度回転すると、レンズの中の像はどんどん先に行って、見えなくなってしまいませんか。
投稿日時 - 2001-08-06 23:39:15
  • 回答No.1

見える「角度」が二倍になるのではなくて「見えているモノの大きさ」が二倍なのでは? 例えば仮に単純に視野角が90°とします その間に表題にあるレンズを入れたとしても視野角が180°になるとは思えないのですが。 その場合は『視野角90°の中のものが2倍の大きさに見える』のだと思います。 屈折率の違いな気がします。 ...続きを読む
見える「角度」が二倍になるのではなくて「見えているモノの大きさ」が二倍なのでは?

例えば仮に単純に視野角が90°とします
その間に表題にあるレンズを入れたとしても視野角が180°になるとは思えないのですが。
その場合は『視野角90°の中のものが2倍の大きさに見える』のだと思います。

屈折率の違いな気がします。
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

別に2倍にこだわらなくてもよいのです。
少しでも視角を拡大できるレンズであれば、360度の中に入りきらないような気がしたものですから。
投稿日時 - 2001-08-06 23:26:34
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

ご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-08-08 00:06:37
  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 23% (20/86)

自分の頭を10度回転したとき、レンズを通して見ている視界は20度回転するのではないでしょうか。だから、2つめの物体が丁度正面に見えるのでは。 頭を一周させれば、視界は720度回転するので36個全てを見ることができる。 どうでしょうか? ...続きを読む
自分の頭を10度回転したとき、レンズを通して見ている視界は20度回転するのではないでしょうか。だから、2つめの物体が丁度正面に見えるのでは。

頭を一周させれば、視界は720度回転するので36個全てを見ることができる。

どうでしょうか?
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

レンズの中の視界が、720度回転するということは、レンズの中では2回転している?ということでしょうか。
うーん、私の想像力がちょっとついていけないのですが。
投稿日時 - 2001-08-06 23:34:28
  • 回答No.7
レベル7

ベストアンサー率 10% (1/10)

「視角を倍にするレンズ」の定義から、360度を見渡すのには720度必要になるはずですが、 「視角を倍にするレンズ」だからといって「その物体までの見かけの距離をおおよそ半分にするレンズ」を考えてしまうと このレンズでは360度を見渡すには360度見れば良いので、両者を区別して考えないといけないのではないでしょうか? 「視角を倍にするレンズ」と「その物体までの見かけの距離をおおよそ半分にするレンズ」 ...続きを読む
「視角を倍にするレンズ」の定義から、360度を見渡すのには720度必要になるはずですが、
「視角を倍にするレンズ」だからといって「その物体までの見かけの距離をおおよそ半分にするレンズ」を考えてしまうと
このレンズでは360度を見渡すには360度見れば良いので、両者を区別して考えないといけないのではないでしょうか?

「視角を倍にするレンズ」と「その物体までの見かけの距離をおおよそ半分にするレンズ」が違うことに気付いていないことが
パラドックスの原因ではないでしょうか?
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

凸レンズが視角を増やしていると考えると、どうしても矛盾が出るような気がします。凸レンズが本当に視角を増やす事が出来るのか、というのが私の基本的な疑問です。
投稿日時 - 2001-08-07 14:50:03
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

ご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-08-08 00:10:56
  • 回答No.8
レベル11

ベストアンサー率 38% (116/304)

絵が描ければ楽なのですが。 10度ずつの視野角を占めている36個の物体に、1番から36番まで番号を付けます。 今、あなたはレンズ無しで1番の物体の中央を見ているとします。 あなたの視野角を10度に制限すると、あなたは1番の物体しか見ることができません。 ここで、「視野角が2倍になるレンズ」を付けたとします。 こんどは、あなたは、1番の物体の中心から5度分の幅しか見ることはできません。1番の物 ...続きを読む
絵が描ければ楽なのですが。

10度ずつの視野角を占めている36個の物体に、1番から36番まで番号を付けます。
今、あなたはレンズ無しで1番の物体の中央を見ているとします。
あなたの視野角を10度に制限すると、あなたは1番の物体しか見ることができません。
ここで、「視野角が2倍になるレンズ」を付けたとします。
こんどは、あなたは、1番の物体の中心から5度分の幅しか見ることはできません。1番の物体の左右端は見えないのです。
ただし、5度分の幅を視野角10度で見ているので、2倍に拡大されたように見えるのです。

つまり、視野角2倍のレンズの働きは、2倍の角度分の光を「集めている」にすぎません。

レンズを付けたまま頭を動かして、2番の物体を見ましょう。
2番の物体の中心を視野の中心に入れるには、頭を10度動かすことになります。
レンズとは関係無く、見たい物を見るためには、物の角度の分だけ視線を動かさなければなりません。一周360度を見るには、頭も360度動かさなければなりません。
視野の中心だけを考えれば、レンズを通して見た映像が、通常の2倍の速さで動くこともありません。
レンズの本当の中心(点)は、ただの平行板ガラス(ふくらんでいない)と言う考えもできます。

説明がつたないですが、720度動くという考えが間違いだということがわかっていただけるでしょうか?
補足コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

ひとつ教えていただきたいのですが、視角を二倍にするレンズで見た時には、自分の視野は二分の一になる、ということは倍率100倍の望遠鏡で何かの対象を見た時には、自分のその対象に対する視野は100分の一になっていると考えてよいのでしょうか。
投稿日時 - 2001-08-07 14:27:13
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

ご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-08-08 00:08:51
  • 回答No.13

私のだめ回答の方は管理者の方が削除してくれたようですね。 双眼鏡のケースでまだ霧がかかっているようなのでだめ押しを。 双眼鏡の場合は凸レンズ1個の場合とちょっと異なります。 望遠タイプでは必ずレンズが2枚必要になり、その構成が大きく分けて、凸レンズが2枚の場合と、凸レンズと凹レンズの組み合わせの場合の二通りありますが、簡単な凸レンズ2枚の場合で考えましょう。 で、この2枚のレンズ間の距 ...続きを読む
私のだめ回答の方は管理者の方が削除してくれたようですね。

双眼鏡のケースでまだ霧がかかっているようなのでだめ押しを。

双眼鏡の場合は凸レンズ1個の場合とちょっと異なります。
望遠タイプでは必ずレンズが2枚必要になり、その構成が大きく分けて、凸レンズが2枚の場合と、凸レンズと凹レンズの組み合わせの場合の二通りありますが、簡単な凸レンズ2枚の場合で考えましょう。

で、この2枚のレンズ間の距離Lが2枚のレンズのそれぞれの焦点距離fa,fbと一定の関係にあります。
L=fa+fb(厳密には物体の距離に応じてこの距離は多少長くなります)
更に、いま物体側のレンズaの焦点距離faと接眼側のレンズbの焦点距離fbとの関係がfa=βfbであるとき、この望遠鏡の倍率はβ倍になります。
ご質問のケースだとβ=2ですね。

前回の凸レンズ1つの場合では、視角を考えるための基準となる主点がレンズ側に移るために起きていました。
今回の場合は2枚の望遠鏡のレンズによって視角の変換が起こります。
つまり、物体からレンズaに角度θで入射した光は、レンズbより角度βxθで出射されます。
これにより、本来ならば角度θの視角しか無かった物体の像がβ倍の視角で見えるので大きく見えます。

この場合も結局は、レンズaもとの観察した角度θの基準点は望遠鏡なので、これを動かしてしまうと凸レンズ一つの時と同じことが起きるのはおわかりになると思います。

最後に蛇足ですが、人間の目のレンズを含む光学系を考える場合は、人間の目の焦点位置は無限遠にして考えます。
これは人間の目が、レンズを通してみると無限遠になるためです。但し近視の人は無限遠に出来ないので、双眼鏡、カメラなどでは接眼部分で補正しないといけません。
(双眼鏡はピント機構があるので、その分ピントをずらしてあげるとうまく行きますが)

望遠鏡がなぜ視角の変換機能があるのかは、図を書いてみるとよくわかります。
望遠鏡の内部には、レンズa,bの焦点面が存在します。角度θでレンズaから入った光はレンズaの主点を通り、距離faで焦点を結び点になります。こんどはその点aを起点として焦点距離fbでレンズbの主点を通ります。
このときに、同じ焦点の点に対して主点までの距離はfa,fbで異なります。だから角度も異なるわけです。

では。
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

専門的なご回答をありがとうございました。
まだ、十分理解できていない点があるので自分でもう少し考えてみたいと思います。
投稿日時 - 2001-08-09 23:09:11
  • 回答No.14
レベル11

ベストアンサー率 38% (130/334)

>双眼鏡を覗いて考えてみたのですが、ある対象物を見ながら双眼鏡を >目に接した状態から徐々に離していくと、対象物の大きさは変わりま >せんが、見える範囲はだんだん狭くなっていきます。 「対象物の大きさは変わりませんが」ということは視角が変わっていな いということです。 >離してみるとレンズと網膜との間の距離が離れるため、対象物は一部 >分しか見えなくなります。 こちらは視野( ...続きを読む
>双眼鏡を覗いて考えてみたのですが、ある対象物を見ながら双眼鏡を
>目に接した状態から徐々に離していくと、対象物の大きさは変わりま
>せんが、見える範囲はだんだん狭くなっていきます。

「対象物の大きさは変わりませんが」ということは視角が変わっていな
いということです。

>離してみるとレンズと網膜との間の距離が離れるため、対象物は一部
>分しか見えなくなります。

こちらは視野(視界)が狭くなったということですよね。対象物の視角
とは別の問題だと思います。


双眼鏡をお持ちであれば、片目は肉眼で、もう一方は双眼鏡を通して、
同じ物をご覧になってはどうでしょうか。双眼鏡をうまく動かせば、
重なった状態で見えますが、視角(=見かけの大きさ)の違いが明らか
に分かることと思います。

これは網膜というスクリーンに映っている像(道具を使えば他人がのぞき
見ることができるでしょう)の絶対的な大きさが違うということです。
お礼コメント
blackleon

お礼率 77% (304/391)

何度もご回答を頂き、ありがとうございました。感謝いたします。
もう少し、自分なりに考えてみます。
投稿日時 - 2001-08-09 23:13:37
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