斜面上での物体の分裂

質問

問題文
水平面とθの角度をなす、なめらかな斜面上の高さhの点に置かれていた質量ｍの小物体が、運動を始めてからｔ秒後に斜面の最大傾斜と直角な方向に分裂した。分裂後の小物体Aの質量は2/5ｍ、小物体Bの質量は3/5ｍである。分裂後も斜面と小物体の間はなめらかであり、A,B共に斜面を離れることはなかったとする。また重力加速度の大きさをgとする。

問
小物体が運動を始めてから、小物体Aが斜面の下端に達するまでの時間を表す式を求めよ。

解
小物体が分裂するとき、運動方向に力が働くので、斜面の最大傾斜に平行な方向の運動は変化しない。小物体に生じる斜面の最大傾斜に平行な加速度をaとして、斜面の最大傾斜に平行な方向について運動方程式を作ると.........と解いていくと答えは1/sinθ√2h/gとなります。

ここで疑問なんですが、これはつまり分裂前と分裂後で加速度が変わってないということですよね？つまりA,Bどちらも同時に斜面の下端に達する。ということだと思います。計算過程に質量は含まれていませんし。途中で斜面の最大傾斜方向に外力が何も加わってないのは理解できます。ただ加速度を求めるときは個々の物体それぞれについて運動方程式を立ててから求める、ということを学校できっちりと教えられたのでどうも解答でこうだけ説明されてもピンときません...
僕は結局「分裂前と分裂後で加速度を分けて考えるのか！」などとやっていたのですがやはり答えは出ませんでした。ちなみに回答は選択式になっていますが。

この考え方についてアドバイスよろしくお願いします！

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1の追加質問の回答です。

分裂前の小物体にかかる力Fは、斜面の最大傾斜方向に F = m g sinθ
ニュートンの運動方程式 F = mα により、加速度αは　α =　g sinθ

分裂後の小物体Ａ（質量は m' = (2/5)m) にかかる力F'は、斜面の最大傾斜方向に　F' = m' g sinθ
ニュートンの運動方程式 F' = m'α' により、加速度α'は　α' =　g sinθ

つまり、α＝α' となり、分裂前の加速度と分裂後の加速度は等しくなります。
分裂後の力F'は、元の力Fに比べて(2/5)倍になりますが、物体の質量も(2/5)倍になるので、結果として加速度は変わらないのです。

お礼

あ～...まったくおっしゃるとおりです...
しっかり計算もしないで感覚だけで考えてしまっていました。
ありがとうございます！！

回答No.1

shkwta

質問文からみると、もうほとんど正しく理解されているように思います。
どうしても疑問が残るなら、念のためつぎの計算をすればすっきりするでしょう。

分裂はt秒後、到着はT秒後とします。加速度は分裂前も後もα = g sinθです。
分裂するまでの最大傾斜方向への移動距離は　x = (1/2)α t^2 です。（^2は2乗）
分裂時の速度の最大傾斜方向への成分は、v = αt です。
分裂後、到着までの移動距離は　y = v (T-t) + (1/2)α（T-t)^2 です。
ここで、x + yを計算すれば、(1/2)αT^2　に等しくなります。

お礼

説明ありがとうございます！
ただすみません！！焦って書いていたので質問の趣旨がズレてしまいました...僕が疑問だったのは分裂前後で加速度が変わらないのはなぜか？ということでした。今読み返してみると全然違う方向になってました。もしよろしければこちらにもお答えいただけると幸いです。