制御工学

質問

伝達関数G(S)＝K/(Ts^2+s+K)において固有振動数１、減衰比0.5になるようにKとTを決めるという問題なのですが、どのように求めたらよいのでしょうか？教えてください。お願いします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

2次系の応答の問題ですね。
これは制御工学のごく初歩の問題です。従って教科書には必ず、固有振動数(あるいは固有角振動数)、減衰比の定義とそれらのパラメータを変えた場合の応答の変化が載っているはずです。それを自分でもう一度読み直して下さい。

ヒントだけ書きます。
一般に伝達関数C(s)＝ω^2/(s^2+2ζωs+ω^2)があったとします。(ωは正の値を取るものとする)
これに例えばステップ入力(例えば、出力=1)を加えたときの応答は、
(A)いったんその目標値を行き過ぎてから振動的に近付く
(B)目標値を行き過ぎることなく、しかしゆっくりとした応答で近付く
(C)ちょうど、(A)と(B)の中間(臨界的減衰)
の3種類があります。(その他に時間とともに振動がどんどん大きくなり目標値に収束しない(系が不安定になる)場合もありますが、これは実用上の意味はあまりないので省いてあります)

では(A)～(C)のいずれになるか、またその際の挙動(減衰/振動の時定数)を決めているパラメータは何でしょうか?
それは伝達関数の極に他なりません。つまり、C(s)で分母＝0の方程式を解いて出てくる2つの根によって系の応答が決まるわけです。
それら2つの根をα、βとおきます。このときC(s)のステップ応答は
1+(β/(α-β))exp(αt)+(α/(β-α))exp(βt)
となります。((C)の臨界的減衰の場合を除く)

1＜ζなら2次方程式を解いて分かるように、極は2つの負の実数になります。系の応答は(B)になります。
0＜ζ＜1なら同様にして、極は2つの虚数になります。かつその実部は負ですから、振動しながら目標に近付く応答(A)になります。
ちなみにζ＝0なら減衰しない振動、ζ＝1なら(C)の臨界減衰(極は重根)、ζ＜0なら時間とともに増大する振動(系は不安定)になります。
このようにζは系の応答(主に減衰)を決める重要なパラメータであり、減衰定数などと呼んでいるわけです。
一方0＜ζ＜1で振動する際、その振動数はどうやって決まるのでしょうか?　これは2次方程式の解の公式から直ちに
ω・√(1-ζ^2)
と分かります。ωは振動数を決めるパラメータで「固有角振動数」などと呼ばれます。

以上です。この先は自分なりにトライしてみて下さい。

お礼

悩んでいたのは、減衰比を振幅減衰比だと思っていたことです。ζを制動比と本に書いてあり、計算が減衰比を振幅減衰比だと思うと計算が複雑になり、困ってしまいました。ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

Umada さんの
> これは制御工学のごく初歩の問題です。
> 従って教科書には必ず、固有振動数(あるいは固有角振動数)、
> 減衰比の定義とそれらのパラメータを変えた場合の応答の変化が載っているはずです。
> それを自分でもう一度読み直して下さい。

に全く同感です．
Umada さんが詳細なヒント(というか，ほとんど解答ですね)を書かれていますので，
蛇足の補足です．

そもそも，伝達関数って何でしたっけ？
何かのラプラス変換になっていたはずです．
もとの「何か」に戻してみれば状況がよく見えますよ．
「何か」の変数は何でしたっけ？