ブロックに小球を打ち込む問題

質問

床の上に質量Mの雪のブロックを静止させ、そこに質量ｍの小球を速さvでブロックの左側から打ち込んだ。小球はブロックの中に距離dだけ潜り込み、ブロックを小球は一体となって床の上を一定の速さcですべった。床とブロックとの間の摩擦力は無視できる。

小球とブロックが一体になるまでに、小球はブロックから一定の抵抗力Fを水平左向きに受けた。またその間にブロックは床に対して距離Lだけ動いた。

問
運動エネルギーと仕事の関係式を選べ。

『解答参照』
ブロックの運動エネルギーの変化は

0+FL=1/2Mc^2　……（１）

一方、小球がブロックから受けた力がした仕事は、小球が【床に対して移動した距離がL+dだけ動いたことに注意して、-F(L+d)である】。小球の運動エネルギーの変化は

1/2mv^2-F(L+d)=1/2mc^2　……（２）

【（１）＋（２）より】

1/2mv^2-Fd=1/2(m+M)c^2 ……（３）

という問題と解説なんですが、疑問点は【　】の２点です。（解答は（２）と（３）を答えさせるものでした）

疑問１
どうしても考えるときに小球に着眼していますし、小球自体が動いたのはdだけと考えてしまいます。結局ブロックの中で動いているからブロック分も動くと考えろということでしょうか…？どういうときに「床に対して」の移動と捉えればいいんでしょうか？

疑問２
これは位置エネルギーがないだけで力学的エネの保存と捉えていいとおもいますが、このようないくつかの物体が結合した（系からなる）全体の力学的エネ保存式は個々の力学的エネ保存式の足し算で成り立つのでしょうか？
だとすれば以前質問したんですが滑車の問題にもこれが適用できると思うんです。（これはもし以前の質問にお答えいただいた方がいらっしゃいましたら言及していただけると幸いです）

以上の２点についてアドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.5

Teleskope · ベストアンサー

１．
　滑車の件；

>>　1/2mv^2+0=0+mg(-h)
>>　1/2Mv^2+0=0+Mgh

　上側の式は 「mが降下して解放された位置エネが mだけを加速する」と記述してます。イコールで結ぶ事は そう宣言することなのです。下側の式も同じですね。　これではまるで 我が子だけを引っ張る2人の母親です。子同志がつながってることが考えに入ってないです。
　ぜひ；
式を立てるときは、エネルギ保存則か運動量保存則を愚直に書きましょう。
変化の式は『 事後－事前 』に統一しましょう。こう書けば 増えればプラスで減ればマイナスになって 直観と一致して簡単です。

２．
　今回なら、位置エネが絡むからエネ保存則の式を書きましょう。最初 (M+m) に速度Vが与えられたのが止まったから
　　運動エネの変化 = 事後－事前 = 0－(1/2)(M+m)V^2
です。
位置エネは、
　　位置エネの変化 = 事後－事前 = -mgh+Mgh－0
で、エネルギ保存の原理に従って
　　運動エネの変化＋位置エネの変化 = ゼロ
と書きます。(*)
代入すると、
　　-(1/2)(M+m)V^2 ＋ -mgh+Mgh = 0
です。
整理すると
　　　　　V^2　 M+m
　　h = ──・───
　　　　　2g　　M-m
ですか？
検算してください。

３.
　あるいは「銃弾とレンガの問題」のように 個々の式を立てる場合は；「銃弾とレンガの問題」は F なるものを媒介（ばいかい）して他人のことも考えに入れてますね、それを見習いましょう。
　mの方のエネ出入りは；
　　速度エネ＋位置エネ－Mを引き上げるエネ
　　Mを引く力を F とすると エネ=力×距離 だから、
　　(1/2)mV^2＋mgh－Fh
　Mの方は
　　速度エネ－位置エネ＋mから来るエネ
　　(1/2)MV^2－Mgh＋Fh
で、エネルギ保存の原理に従って
　　mの出入り＋Mの出入り = ゼロ
と書きます。(*)
代入すると、
　　(1/2)mV^2＋mgh－Fh ＋ (1/2)MV^2－Mgh＋Fh = 0
です。
整理すれば前記と同じ式になると思います、検算してください。

(*)
　「銃弾とレンガの問題」が、【（１）＋（２）より】 とやってる意味が腑に落ちないようですね、これは 見たとおり エネルギ保存則です。言葉で言えば『 全部のエネルギ変化を足すとゼロになる 』です。例によってその問題集は 右辺の『ゼロになる』を分かり切ったこととして省略してるんでしょう、たぶん。
いちばん重要な基本です。

お礼

いつもいつも丁寧な解答ありがとうございます！
自分の完全に誤った考えを根本から直していただき非常に助かっています。今回もよく理解できました！検算してみましたが間違いないです！
あとTeleskopeさんに一つお詫びをしなければなりません。前にレンズの問題で解答を締め切ったのですが後で見てみるとTeleskopeさんの解答が入っていました。締め切りと投稿が同時だった（？）のか僕が一瞬でも見逃したのか分かりませんが、いずれにせよその時もかなり丁寧に解説していただいたのにも関わらずお礼も書けませんでした。この場をもってかえさせていただきます。ありがとうございました！！

回答No.6

Teleskope

４．
　条件『 衝突前後で運動エネEも運動量Pも変化しない 』とすれば、

　　m　　　　M　　 　 　 　 　　　m　　　 M
　　●→　　●　　　　⇒　　　　●→　　●→
　　　 V　　静止　　衝突後　　　 V1　　　V2

　　E = (1/2)mV^2 = (1/2)mV1^2 + (1/2)MV2^2
　　P = mV = mV1 + MV2
を解くと（途中が大変だけど）、
　　V1 = V(m-M)/(m+M)
　　V2 = V(2m)/(m+M)
を得る。

で、この問題ではV1とV2が同じ速度になると言ってます。では上式を等しいと置くと、
　　V(m-M)/(m+M) = V(2m)/(m+M)
　　m-M = 2m
　　0 = m+M
が要求されます。マイナスの質量は存在しないので無理です。上記の条件『……』下では 等速になることは無いということです。

５．
　そこで、条件を一方だけにしましょう。運動エネは電気や熱や圧力に変えることができますが、運動量の方は 内輪のやり取りだけでは変えたくても変える手段が無いのです。
そこで『運動量のみ不変』としましょう。
事後の速度をCとすると、
　　運動量 = mV = (m+M)C
より、
　　C = mV/(m+M)
と求まります。この式なら前項のような非現実的なことはありませんね。
これを問題の
　　1/2mv^2-Fd=1/2(m+M)c^2 ……（３）
に入れると、
　　Fd = (1/2)(mV^2)M/(m+M)
　　　 = 最初の運動エネ×M/(m+M)
となりました。これも無理はありません。
これを満足する深さdで弾丸が止まります。（レンガの奥行きが足りなかったら突き抜けます。）

　以上、２体衝突問題のトレビアは；
●全運動量は不変
●全エネルギは不変
●そのうち運動エネは、不変も減少も両方あり得る。

>>　どうしても小球自体が動いたのはdだけと考えてしまいます。 <<

　私も同じですね、この問題をパッと見て「２者間に力Fが働いて互いの位置がd動いてるから、力×距離=それなりのエネである。運動エネの方は、事後－事前=(1/2)(m+M)c^2-(1/2)mV^2 だ。全部の合計=0から‥‥」と先ず(3)式を出してしまいましたが。

>>　全体のエネ保存式は個々のエネ保存式の足し算で成り立つのでしょうか？ <<

　はい、成り立ちます。ただし 部分ごとに「個々のエネ保存式」っぽいのを立てるときは他の部分とのやり取りを見逃さないようにですね。

回答No.4

stripe

1/2mv^2+0=0+mg(-h)
によると、ｖは複素数になってしまいます。

したで質問者さんの疑問がわかったとかきましたが、やはりわからないです。
質問者さんの考えたとき方がただしいかどうか、なのでわかりません。

違う問題でその法則をあてはめてテキストの答えと一致してたらただしいし違ってたら違うということでしょう。

ぼくにあどばいすできるのはこのへんまでです。
これ以上補足されてもおこたえできません。
ではがんばってください。

お礼

上で指摘していただきましたがやはり僕の完全な間違いでした。長々と付き合っていただき申し訳ありませんでした。ありがとうございました！

回答No.3

stripe

いいたいことがなんとなくわかりました。
その式は成り立ちますよ。
じゃないとエネルギーに関する式が全部なりたたなくなります

お礼

ありがとうございます！！
分かりにくい説明ですみませんでした。力学的エネルギー保存式という言葉が使えないので（仕事も含めますので）ちょっと表現が伝わりにくかったと思います...
最後にそのことを使って次のことが成り立つか判断していただけますでしょうか？長々と申し訳ありません。

滑車の問題なんですが、糸がかかっていて片方に重さMのおもり、他方に重さmのおもりがついています。軽いほうを手でおさえて、鉛直下方に初速度ｖで下げたとします。当然いつかは重いほうが勝ちますので止まる瞬間があります。その瞬間にmのおもりはｈだけ下降していたとします。（もちろんMのおもりはｈだけ上昇していますが）この時最初からの全体のエネルギーについての式は

1/2mv^2+0=0+mg(-h)
1/2Mv^2+0=0+Mgh
(それぞれの辺の第１項を運動エネルギー、第２項を位置エネルギーで書いています)

２式を加えて
1/2mv^2+1/2Mv^2=-mgh+Mgh…（答）

で正しいですよね？今回は仕事が入っていませんが、問われているのが全体のエネルギーのやりとりの式で、個々の式を考えて足すとするとそれぞれのおもりの高さについて位置エネルギーの基準を任意に（２つ）設定できるので考えやすいです。全体について一気にだそうとすると基準を一つしかとれないと考えてしまいますので...（この点に関しては以前の質問で解答を頂きました）
最後のわりに長くなってしまいましたがこれで疑問がすべて解決しそうなのでよろしくお願いします。

回答No.2

stripe

【（１）＋（２）より】
というのは、数学的に式をたしなさいってことです。
(１)と(２)がわかったならば、これも納得してください。

一般にものが変形するときにはエネルギーを使います。ですが、この問題では変形など考慮する必要などないので、単純に仕事量・運動エネルギー・位置エネルギーの組み合わせで考えてOKです。
ぼくもあまり詳しくないので詳しい解説ができません。そのてんはごめんなさい。

お礼

ありがとうございます。
ただあくまで仕事量・運動エネルギー・位置エネルギーのやりとりを表した式（＃１で指摘していただきましたが、力学的エネルギー保存式とは言えないのでこのような書き方をしています。）が【全体のやりとり式＝個々のやりとり式の和】として成り立つかどうかということが知りたいです。変形などは一切無いという前提です。

回答No.1

stripe

こんばんは。
なかなか難しい問題ですね。

＞どういうときに「床に対して」の移動と捉えればいいんでしょうか？

たいていの問題は床に対して、と考えてよいと思います。

この問題の場合は小球がブロックといったいになるまでの変位は(L＋ｄ)でうける力はFですよね。

力学的エネルギーが保存するというのは、外力がする仕事が０のときをいいまして、この問題は外力がする仕事が０ではないので、力学的エネルギが保存するとはいいません。

＞このようないくつかの物体が結合した（系からなる）全体の力学的エネ保存式は個々の力学的エネ保存式の足し算で成り立つのでしょうか？

これはよく意味がわかりませんが、
独立した二体がそれぞれ力学的エネルギーが保存するような運動をしていても、たまたま二体が衝突したりしたら変形するときにエネルギーは保存してません。

お礼

ありがとうございます。
すみません。語の定義をしっかりと把握していなかったので適当なことを書いてしまいました。力学的エネルギーではなく、《全体のエネルギー（仕事も含めて）のやりとりとしては変わりませんよね》、ということでした。
疑問が増えてしまったのですが、もし良かったらお答えいただけますでしょうか？二つの目の疑問点で「力学的エネ」ではなく、今訂正した《　》の考えだとしたら２物体が衝突したとしても、全体のエネルギーのやりとりは個々のエネルギーのやりとりの足し算として成り立つのでしょうか？といいますか、そうでなければ、この問題の（３）式の【（１）＋（２）より】という部分はおかしいと思うのですが...（３）式は２物体全体についてのエネルギーのやりとりを表した式だと思いますので。よろしくお願いいたします。