スピンの固有状態について（量子力学）

質問

二つのスピンs1,s2の和、ｓの規格化された固有状態を求め、1⇔2のもとでどのように変換されるか求める、という一般的なスピンの問題なのですが、1⇔2としたときがわかりません。
　　規格化された固有状態は
　　(1)　Χ+(1)Χ+(2)
(2)1/√2[Χ+(1)Χ-(2)＋Χ-(1)Χ+(2)]
(3) Χ-(1)Χ-(2)
(4)1/√2[Χ+(1)Χ-(2)ーΧ-(1)Χ+(2)]←１重状態
　　　　　の４種類です。
　　スピンの1,2を1⇔2のもとで、状態はどのように変換されるのでしょうか？？
　　　　教えてください！よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> １と２が全てにおいて交換可能である、ということでいいのでしょうか？

X+ と書くと加算の＋と区別がしにくいので，X+ のことをα，X- のことをβと書いてみます．
(1) ψ_1 = α(1)β(1)
(2) ψ_2 = (1/√2) {α(1)β(2) + β(1)α(2)}
(3) ψ_3 = β(1)β(2)
(4) ψ_4 = (1/√2) {α(1)β(2) - β(1)α(2)}

お礼に書かれているように，(2)で 1⇔2 とやると，
(2') (1/√2) {α(2)β(1) + β(2)α(1)}
となりますから，これは(2)と全く同じですね．
(1)と(3)についても同じものが出てきます．

ところで，(4)は？
(4)で 1⇔2 とやると，
(4') (1/√2) {α(2)β(1) - β(2)α(1)}
が出てきまして，これは(4)の符号を変えたものです．

「交換可能である」という言い方はあんまり良い言い方ではありません．
1⇔2 の操作を P(1⇔2) と書くことにしますと，
P(1⇔2) ψ_1 = ψ_1
P(1⇔2) ψ_2 = ψ_2
P(1⇔2) ψ_3 = ψ_3
P(1⇔2) ψ_4 = - ψ_4
となっています．
P(1⇔2) の操作をしても本質的に同じものが出てきますから，
ψ_1 ～ ψ_4 は P(1⇔2) という操作の固有状態です．
ψ_1 ～ ψ_3 に対しては固有値は +1，ψ_4 に対しては固有値は -1 ということになります．
まさに線型代数の話と同じことです．

ψ_1 ～ ψ_3 は P(1⇔2) に対してパリティ(偶奇性)が正，ψ_4 はそれが負，という言い方もします．

お礼

とてもわかりやすい解答、ありがとうございました。(＾-＾;)
　よくわかりました！

回答No.1

siegmund

1⇔2 というのですから，
(1)～(4)の波動関数で１と書いてあるところは２に，
２と書いてあるところは１に，それぞれ書き直すだけでしょう．
で，書き直す前のものと比べてみればいかがでしょう．

お礼

早々の御解答、ありがとうございました！
　書き直したものをジ～っと眺めて比べてみました。（書き直すとこまでは、質問をするまでにやっていたのですが。。）
　　例えば、[Χ+(1)Χ-(2)＋Χ-(1)Χ+(2)]を書き直すと[Χ+(2)Χ-(1)＋Χ-(2)Χ+(1)]となりますよね？？そうすると、Χ+(1)Χ-(2)＝Χ-(2)Χ+(1)などとおけるので、１と２が全てにおいて交換可能である、ということでいいのでしょうか？
　教えてください。長々とすみません。