初歩的な確率の問題

質問

大学の課題です。
条件付確率、事象の独立の項の問題なのですが、
(1)
・事象ＡとＢは独立
・事象Ａ´（Ａの余事象）とＢは独立
・事象ＡとＢ´（Ｂの余事象）は独立
・事象Ａ´とＢ´は独立
という四つの命題が同値であることを示したいのですが、どのようなステップを踏んでとけばよいのかわかりません。
当方文系で数学恐怖症にて、なんのアイデアも思い浮かびません。
(2)
Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）とＰ（Ａ∩Ｂ）はどう違うのですか？

どちらか一方でも構いません。テキストやネットを調べてもわかりません…
どなたかご教授のほどよろしくお願いいたします。

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

(2)について問題で考えてみましょう。

赤球が２つ、白球が３つ入っている箱があります。この箱から球を１つずつ２回取り出し、「１回目に赤球が出る」という事象をA、「２回目に赤球が出る」という事象をBとします。

a)１回目に取り出した球を元に戻さない場合
・P(A)を求めよ。
・P(A∩B)を求めよ。
・P(B)を求めよ。
・P(A∩B)=P(A)P(B)が成立するか吟味せよ。
b)１回目に取り出した球を元に戻す場合
・P(A)を求めよ。
・P(A∩B)を求めよ。
・P(B)を求めよ。
・P(A∩B)=P(A)P(B)が成立するか吟味せよ。

a)の場合は、１回目に赤球を取り出すと２回目は「赤１個、白３個」から取り出す、１回目に白球を取り出すと２回目は「赤２個、白２個」から取り出すことになります。これは１回目に取り出した球と２回目に取り出す球が独立でないことを示します。
b)の場合はどうですか？

独立の定義はP(B|A)=P(A∩B)/P(A)がP(B)に等しいことです。すなわちP(A∩B)=P(A)P(B)であることが独立であるための必要十分条件になります。

これを踏まえて(1)に取り掛かって下さい。
ちなみに、１つめと４つめの同値は、他でまったく同じ質問がありましたので参考URLに記載します。
これがいえれば２つめと３つめの同値もいえたことになります。（A''=Aがヒント）
１つめと２つめの同値は、P(A'∩B) + P(A∩B) = P(B)がヒントです。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1059011

お礼

すばやいご回答ありがとうございます。
回答中の(a),(b)について検討してみました。とてもわかりやすかったです。過去の質問についてもありがとうございました。探し不足でした。
これからがんばってレポートに取り組みます。
助かりました。