フーリエ変換

質問

『密度がρ(r)=(ρo)exp(-ar)で与えられる時、フーリエ変換を行い、
　形状因子F(q)=∫ρ(r) exp(iq・r)drを求めよ。』
この問題解ける人詳しく教えて下さい。 m(_ _)m
お願いします。
(ρo):ローゼロ、expの括弧内(q・r):ベクトルの内積
他の文字はスカラー量

回答No.1

noname#2380 · ベストアンサー

とりあえずできる範囲で計算をおこなってみました（ご参考までに）。
式の物理的な意味、具体的な利用方法等の説明は他の方の回答を参考に
してください。
一部使用する記号を変えさせていただきます。
i→j
q→ｋ
dr→dx*dy*dz
q・r→<q,r>:３次元空間での内積

以下に計算手順を示します。
F(k)/ρo=∫ρ(r)/ρo exp(j<k,r>)dxdydz

=∫exp(-a*r)*exp(j<k,r>)dxdydz　　　　　　(1)

この積分を行うために、球面座標を用います（図で記述するとわかりやすいのですが、式の説明でゴメンナサイ）。
球面座標（r,θ,φ）は
x=r*sin(θ)*cos(φ）　　　　　　　　　　　　　　　(2)
y=r*sin(θ)*sin(φ）
z=r*cos(θ）
波数ベクトルｋとz軸となす角度をθとします。
体積素片dxdydzは球面座標では、
dxdydz=r*r*sin(θ)*dr*dθ*dφ　　　　　　　　　　　(3)

蛇足説明：（ここの説明は読み捨ててください）
(3)式の導出ですが、もし、多変数積分での変数変換の方法をご存じでしたら、
(2)の定義からヤコビアンを計算していただき、（３）式の導出の確認をしてい
ただければ幸いです。
ぶつりやさんの直感的な説明では、確か、
体積素片dxdydzは、
dr、r*sin(θ）*dφ、r*dθ
の三辺からなる長方体（？）で表現できるから、（３）になるというような説明だったような……）

=∫exp(-a*r)*exp(j*k*r*cos(θ）)　r*r*sin(θ)*dr*dθ*dφ　 (4)

上記の積分は、
r=-∽～∽
θ=0～π
φ=0～2*π
で行います。初めにφについて積分を行うと

=2*π*∫exp(-a*r)*exp(j*k*r*cos(θ）)　r*r*sin(θ)*dr*dθ　 (5)

(5)式でθについて積分を行うのに（６）式を用います。

(d/dθ）exp(j*k*r*cos(θ))=-j*k*r*sin(θ)*exp(j*k*r*cos(θ))　　(6)

(6)式を利用するため、（５）式を以下のように変形します。
=2*π*∫exp(-a*r)*｛-j*k*r*sin(θ)*exp(j*k*r*cos(θ）)｝r*dr*dθ/(-j*k)

=2*π*∫exp(-a*r)*｛exp(-j*k*r)-exp(j*k*r)｝r*dr/(-j*k)

=(2*π/(-j*k))*∫exp(-a*r)*｛exp(-j*k*r)-exp(j*k*r)｝r*dr

=(2*π/(-j*k))*∫r*exp((-a-j*k)*r)-r*exp((-a+j*k)*r) dr (7)

(7)の積分を行う前に次の積分を計算しておく。
α>0
∫r*exp(-α*r)dr=r*exp(-α*r)/(-α）-exp(-α*r)/(α*α） (8)

(8)式の0～∽での定積分は、
-/(α*α)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)

（９）式の結果を用いて（７）式の計算を行うと、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

=(2*π/(-j*k))*｛-1/[(-a-j*k)*(-a-j*k)]

+1/[(-a+j*k)*(-a+j*k)]}

=(2*π/(-j*k))*2*j*Im(1/[(-a+j*k)*(-a+j*k)])

注：Imは、複素数の虚部をとるという意味。

=4*π/(-k)*(-2*k*a)/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

=8*a*π/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

よって

F(k)=ρo*8*a*π/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

となりました。
誤記、誤計算がありましたらゴメンナサイ。

お礼

とてもわかりやすい説明ありがとうございます。
本当に助かりました。　　　m(_ _)m