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フーリエ変換

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お礼率 100% (1/1)

『密度がρ(r)=(ρo)exp(-ar)で与えられる時、フーリエ変換を行い、
 形状因子F(q)=∫ρ(r) exp(iq・r)drを求めよ。』
この問題解ける人詳しく教えて下さい。 m(_ _)m
お願いします。
(ρo):ローゼロ、expの括弧内(q・r):ベクトルの内積
他の文字はスカラー量
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  • 回答No.1

とりあえずできる範囲で計算をおこなってみました(ご参考までに)。
式の物理的な意味、具体的な利用方法等の説明は他の方の回答を参考に
してください。
一部使用する記号を変えさせていただきます。
i→j
q→k
dr→dx*dy*dz
q・r→<q,r>:3次元空間での内積

以下に計算手順を示します。
F(k)/ρo=∫ρ(r)/ρo exp(j<k,r>)dxdydz

=∫exp(-a*r)*exp(j<k,r>)dxdydz      (1)

この積分を行うために、球面座標を用います(図で記述するとわかりやすいのですが、式の説明でゴメンナサイ)。
球面座標(r,θ,φ)は
x=r*sin(θ)*cos(φ)               (2)
y=r*sin(θ)*sin(φ)
z=r*cos(θ)
波数ベクトルkとz軸となす角度をθとします。
体積素片dxdydzは球面座標では、
dxdydz=r*r*sin(θ)*dr*dθ*dφ           (3)

蛇足説明:(ここの説明は読み捨ててください)
(3)式の導出ですが、もし、多変数積分での変数変換の方法をご存じでしたら、
(2)の定義からヤコビアンを計算していただき、(3)式の導出の確認をしてい
ただければ幸いです。
ぶつりやさんの直感的な説明では、確か、
体積素片dxdydzは、
dr、r*sin(θ)*dφ、r*dθ
の三辺からなる長方体(?)で表現できるから、(3)になるというような説明だったような……)

=∫exp(-a*r)*exp(j*k*r*cos(θ)) r*r*sin(θ)*dr*dθ*dφ  (4)

上記の積分は、
r=-∽~∽
θ=0~π
φ=0~2*π
で行います。初めにφについて積分を行うと

=2*π*∫exp(-a*r)*exp(j*k*r*cos(θ)) r*r*sin(θ)*dr*dθ  (5)

(5)式でθについて積分を行うのに(6)式を用います。

(d/dθ)exp(j*k*r*cos(θ))=-j*k*r*sin(θ)*exp(j*k*r*cos(θ))  (6)

(6)式を利用するため、(5)式を以下のように変形します。
=2*π*∫exp(-a*r)*{-j*k*r*sin(θ)*exp(j*k*r*cos(θ))}r*dr*dθ/(-j*k)

=2*π*∫exp(-a*r)*{exp(-j*k*r)-exp(j*k*r)}r*dr/(-j*k)

=(2*π/(-j*k))*∫exp(-a*r)*{exp(-j*k*r)-exp(j*k*r)}r*dr

=(2*π/(-j*k))*∫r*exp((-a-j*k)*r)-r*exp((-a+j*k)*r) dr (7)

(7)の積分を行う前に次の積分を計算しておく。
α>0
∫r*exp(-α*r)dr=r*exp(-α*r)/(-α)-exp(-α*r)/(α*α) (8)

(8)式の0~∽での定積分は、
-/(α*α)                           (9)

(9)式の結果を用いて(7)式の計算を行うと、                     

=(2*π/(-j*k))*{-1/[(-a-j*k)*(-a-j*k)]

+1/[(-a+j*k)*(-a+j*k)]}

=(2*π/(-j*k))*2*j*Im(1/[(-a+j*k)*(-a+j*k)])

注:Imは、複素数の虚部をとるという意味。

=4*π/(-k)*(-2*k*a)/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

=8*a*π/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

よって

F(k)=ρo*8*a*π/[(a*a+k*k)*(a*a+k*k)]

となりました。
誤記、誤計算がありましたらゴメンナサイ。
お礼コメント
GINGER

お礼率 100% (1/1)

とてもわかりやすい説明ありがとうございます。
本当に助かりました。   m(_ _)m
投稿日時 - 2001-07-21 18:15:09
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