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2択問題の正解確率について

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お礼率 68% (15/22)

数学のことを殆ど知らないので、よくご存知の方に教えて頂きたいのですが、
「2択問題をx問やって、n問正解する確率を求める公式」はあるのでしょうか?
もちろん2択問題というのは学校のテストなどではなくて、コインを投げてオモテかウラかを当てるような、知識が介在しない場合の話です。

例<その1>
10問やって10問正解する確率は1024分の1
5問やって5問正解する確率は32分の1
3問やって3問正解する確率は8分の1
この場合の公式は「2のx乗分の1」で合ってるのでしょうか?

例<その2>
10問やって9問正解する確率は1024分の11
5問やって4問正解する確率は32分の6
3問やって2問正解する確率は8分の4
この場合の公式は「2のx乗分のx+1」で合ってるのでしょうか?

でも、nはどこに行ってしまったのか、これが分かりません。。。なので、10問やって8問正解する場合の公式、9問やって6問正解する場合の公式、150問やって112問正解する場合……と言う様に、x問やって、n問正解する確率を求める公式がどんなものなのか、全く分かりません。

もしご存知の方がいらっしゃったら、教えて頂けませんか。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 38% (130/334)

最終結果は #1, #2 の回答と同じですが、公式の理屈に興味があれば
お読みください。また、3択以上の場合も分かります。


設問3個の例で説明します。
正解不正解のパターンは以下の8個です。
1○○○
2○○×
3○×○
4○××
5×○○
6×○×
7××○
8×××

2問正解する確立を考えてみましょう。その中の一つ、3番目のパターン
に注目します。
第3パターンが起こる確立は(直感的に1/8ではありますが)設問一つ
一つについて確立を積み上げると
第1問の正解確立×第2問の不正解確立×第3問の正解確立
=1/2 * 1/2 * 1/2
=1/8
となります。

2問正解する全てのパターンは、2番目、3番目、5番目の3つです。
この3つのパターンの確立は、上記のように計算して全て 1/8 なので、
2問正解する確立は
パターン数×パターン1つの起こる確立
=3 * 1/8
=3/8
と計算できます。


これを一般化してみましょう。
設問数を m 、正解数を n とします。

「3個の例」でみたパターン1つが起こる確立を一般化すると、
正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。^n は n 乗の意味です。正解・不正解確立は2択ならば
1/2,1/2 、3択ならば 1/3, 2/3 となります。

次に n 個正解するパターンの数を調べます。これは、m 個のものから
n 個を選ぶ「組合せ」といって、以下の式で計算します。
mCn = m! / ((m-n)! * n!)

mCn は 「m 個から n 個とった組合わせ」の数学記号です。
! は階乗といって、例を挙げれば、「 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 」と
いう意味です。

結局、設問数 m 、正解数 n となる確立は
mCn * 正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。

2択の場合
mCn * (1/2)^m

3択の場合
mCn * (1/3)^n * (2/3)^(m-n)
となります。
4択以上も正解・不正解確立を置きかえれば同様に計算できます。
お礼コメント
aoba_hayato

お礼率 68% (15/22)

皆様どうもありがとうございました。なんとか分かりました。こんな公式、自分みたいなのが考え付けるわけありませんよね。愚か者でした。
みなさんにポイントを差し上げたいところですが、そうもいかないみたいなので、乗数の書き方とか、mCn の計算方法を教えてくださった#3さんを代表として、お礼申し上げす。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-07-20 20:59:12
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 22% (55/245)

簡単にいうと、 xCn/2^x という式で表されます。 分母は2のx乗です。 分子ですが、「xコンビネーションn」といって、 x個の中からn個を取り出す組み合わせです。 計算方法は、 {x*(x-1)*(x-2)*…*(x-(n-1))}/n! です。 (n!=1*2*3*4*…*nということです) 分母の2を6にすれば、サイコロの場合ができます。
簡単にいうと、
xCn/2^x という式で表されます。
分母は2のx乗です。
分子ですが、「xコンビネーションn」といって、
x個の中からn個を取り出す組み合わせです。
計算方法は、
{x*(x-1)*(x-2)*…*(x-(n-1))}/n!
です。
(n!=1*2*3*4*…*nということです)

分母の2を6にすれば、サイコロの場合ができます。


  • 回答No.2
レベル6

ベストアンサー率 25% (2/8)

こんにちは! doubleimpactさんの回答に補足します。 xCn/2^x という式は正しいです。 ここで、わかりやすく説明すると、2^x という分母は 2択の問題をx問解くのであるからこれは変わりません。 変わるのは、xCnの部分です。これは、x個の中からn個選ぶと 何通りあるかということです。 それでは、aoba_hayatoさんの例<その2> を使って説明しましょう。 10問 ...続きを読む
こんにちは!
doubleimpactさんの回答に補足します。
xCn/2^x という式は正しいです。
ここで、わかりやすく説明すると、2^x という分母は
2択の問題をx問解くのであるからこれは変わりません。
変わるのは、xCnの部分です。これは、x個の中からn個選ぶと
何通りあるかということです。

それでは、aoba_hayatoさんの例<その2> を使って説明しましょう。
10問やって9問正解するということは、1問間違えるわけです。
では、その間違いは何問目に生ずるかという意味で
10C1を使います。よって答えは1024分の10となるわけです。
ちなみに10C1=10C9です。
式で言うと、xCn=xC(n‐1)となります。

この説明でわからなかったら、また補足を下さい。
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