２択問題の正解確率について

質問

数学のことを殆ど知らないので、よくご存知の方に教えて頂きたいのですが、
「２択問題をｘ問やって、ｎ問正解する確率を求める公式」はあるのでしょうか？
もちろん２択問題というのは学校のテストなどではなくて、コインを投げてオモテかウラかを当てるような、知識が介在しない場合の話です。

例＜その１＞
１０問やって１０問正解する確率は１０２４分の１
５問やって５問正解する確率は３２分の１
３問やって３問正解する確率は８分の１
この場合の公式は「２のｘ乗分の１」で合ってるのでしょうか？

例＜その２＞
１０問やって９問正解する確率は１０２４分の１１
５問やって４問正解する確率は３２分の６
３問やって２問正解する確率は８分の４
この場合の公式は「２のｘ乗分のｘ＋１」で合ってるのでしょうか？

でも、ｎはどこに行ってしまったのか、これが分かりません。。。なので、１０問やって８問正解する場合の公式、９問やって６問正解する場合の公式、１５０問やって１１２問正解する場合……と言う様に、ｘ問やって、ｎ問正解する確率を求める公式がどんなものなのか、全く分かりません。

もしご存知の方がいらっしゃったら、教えて頂けませんか。

回答No.3

redbean · ベストアンサー

最終結果は #1, #2 の回答と同じですが、公式の理屈に興味があれば
お読みください。また、３択以上の場合も分かります。

設問３個の例で説明します。
正解不正解のパターンは以下の８個です。
１○○○
２○○×
３○×○
４○××
５×○○
６×○×
７××○
８×××

２問正解する確立を考えてみましょう。その中の一つ、３番目のパターン
に注目します。
第３パターンが起こる確立は（直感的に１／８ではありますが）設問一つ
一つについて確立を積み上げると
第１問の正解確立×第２問の不正解確立×第３問の正解確立
=1/2 * 1/2 * 1/2
=1/8
となります。

２問正解する全てのパターンは、２番目、３番目、５番目の３つです。
この３つのパターンの確立は、上記のように計算して全て 1/8 なので、
２問正解する確立は
パターン数×パターン１つの起こる確立
=3 * 1/8
=3/8
と計算できます。

これを一般化してみましょう。
設問数を m 、正解数を n とします。

「３個の例」でみたパターン１つが起こる確立を一般化すると、
正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。^n は n 乗の意味です。正解・不正解確立は２択ならば
1/2,1/2 、３択ならば 1/3, 2/3 となります。

次に n 個正解するパターンの数を調べます。これは、m 個のものから
n 個を選ぶ「組合せ」といって、以下の式で計算します。
mCn = m! / ((m-n)! * n!)

mCn は 「m 個から n 個とった組合わせ」の数学記号です。
! は階乗といって、例を挙げれば、「 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 」と
いう意味です。

結局、設問数 m 、正解数 n となる確立は
mCn * 正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。

２択の場合
mCn * (1/2)^m

３択の場合
mCn * (1/3)^n * (2/3)^(m-n)
となります。
４択以上も正解・不正解確立を置きかえれば同様に計算できます。

お礼

皆様どうもありがとうございました。なんとか分かりました。こんな公式、自分みたいなのが考え付けるわけありませんよね。愚か者でした。
みなさんにポイントを差し上げたいところですが、そうもいかないみたいなので、乗数の書き方とか、mCn の計算方法を教えてくださった#3さんを代表として、お礼申し上げす。ありがとうございました。

回答No.2

murasaki333

こんにちは！
doubleimpactさんの回答に補足します。
xCn/2^x　という式は正しいです。
ここで、わかりやすく説明すると、2^x　という分母は
2択の問題をｘ問解くのであるからこれは変わりません。
変わるのは、xCnの部分です。これは、ｘ個の中からｎ個選ぶと
何通りあるかということです。

それでは、aoba_hayatoさんの例＜その２＞ を使って説明しましょう。
１０問やって９問正解するということは、1問間違えるわけです。
では、その間違いは何問目に生ずるかという意味で
10Ｃ1を使います。よって答えは１０２４分の１０となるわけです。
ちなみに10Ｃ１＝10Ｃ9です。
式で言うと、xＣｎ＝xＣ(ｎ‐1）となります。

この説明でわからなかったら、また補足を下さい。

回答No.1

doubleimpact

簡単にいうと、
xCn/2^x　という式で表されます。
分母は2のx乗です。
分子ですが、「xコンビネーションn」といって、
x個の中からn個を取り出す組み合わせです。
計算方法は、
{x*(x-1)*(x-2)*…*(x-(n-1))}/n!
です。
（n!=1*2*3*4*…*nということです）

分母の2を6にすれば、サイコロの場合ができます。