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空間上の円の方程式について

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お礼率 66% (2/3)

空間上にある、3点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
P3(x3,y3,z3)を通る円の方程式を求めよ。

平面の方程式は、法線ベクトルにより
求められる所までは分かっています。
空間における円の方程式は、球と平面の
交線で表せるというのは、わかったのですが、
この後、どーすれば良いのかが分かりません。

どなたか、よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

3点を通る円の方程式でしょ?球じゃなくて。
適当な座標変換
(X,Y,Z)' = A (x,y,z)'
('は転置、Aは実数値の3×3行列で、AA' = I (単位行列))を使って、与えられた3点が
(X1,Y1,0), (X2,Y2,0), (X3,Y3,0)
に変換されるようにすれば、(このようなAは何通りもあります。)
Z=0の平面上の3点を通る円を決める問題になります。

 円の方程式
(X-B)^2 + (Y-C)^2 = R^2
は、3次元で見るとZが出てこない訳ですから、(球ではなく)軸がZ軸と平行な円柱を表しています。この方程式(つまりB,C,Rの値)が得られたら、これと、方程式
(X,Y,0)' = A (x,y,z)'
(Z=0の平面を表します。)とを連立させれば、X,Yが直ちに消去でき、x,y,zを含む2本の方程式が得られます。
お礼コメント
KLHLL

お礼率 66% (2/3)

回答ありがとうございました。
今から、やってみます。
投稿日時 - 2001-07-19 09:18:03
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

球が与えられた3点を通るとすると その3点はその3点を含む平面による断面の円上にあるはずです。 では、その円を含む球は一意的に決められるでしょうか? 2点を通る円の方程式を考えればわかるようにたくさん有ります。 そこで、球の方程式を求めれば良いという立場にたちます。 幾何学的には、比較的簡単で3点を含む平面においてて3点を通る円の中心から、その平面の法線方向に中心を持つような球を考えればよく ...続きを読む
球が与えられた3点を通るとすると
その3点はその3点を含む平面による断面の円上にあるはずです。
では、その円を含む球は一意的に決められるでしょうか?
2点を通る円の方程式を考えればわかるようにたくさん有ります。
そこで、球の方程式を求めれば良いという立場にたちます。

幾何学的には、比較的簡単で3点を含む平面においてて3点を通る円の中心から、その平面の法線方向に中心を持つような球を考えればよく、それを方程式であらわせばよいのではないでしょうか?

  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

失礼しました。昨日はべろべろに酔っ払っていたようで (他のところでも絡んでいたようで情けないです) stomachmanさんご指摘のように 全く問題を理解していなかったようで、ご迷惑おかけしました。 せっかくなのでstomachmanさんと違う筋で。 作図の問題として考えれば 平明内であれば2点間の垂直2等分線の交点が円の中心を与えますよね。 それを拡張してたとえば3点を含む平面内での ...続きを読む
失礼しました。昨日はべろべろに酔っ払っていたようで
(他のところでも絡んでいたようで情けないです)
stomachmanさんご指摘のように
全く問題を理解していなかったようで、ご迷惑おかけしました。

せっかくなのでstomachmanさんと違う筋で。
作図の問題として考えれば
平明内であれば2点間の垂直2等分線の交点が円の中心を与えますよね。
それを拡張してたとえば3点を含む平面内での
P1-P2の垂直2等分線を求めます。

点Pi、点Pi-Pj間のベクトルをそれぞれ v{i}、v{ij} と表すと
中点:
  v1=(v{1}+v{2})/2
法線ベクトル(規格化していません。”・”は内積です。):
  v2 = v{31} - [(v{21})・(v{31})] (v{21})/|v{21}|^2
垂直2等分線:
  v1+s*v2 (sはパラメータ)
となります。
あとはもう一組の垂直2等分線を求めて、連立方程式を解けば
円の中点ベクトルvcが求められます。
あとは、ベクトルxに対して、
平面の法線ベクトル(たとえば外積を使ってvn=v{21}×v{31})
 (x-vc)・(x-vc)=r^2,
 (x-vc)・vn = 0
とするのでしょうか。

以上失礼しました。
お礼コメント
KLHLL

お礼率 66% (2/3)

回答ありがとうございました。
今から、やってみます。
投稿日時 - 2001-07-19 09:18:43
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