OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
締切り
済み

整数の問題なんですが

  • すぐに回答を!
  • 質問No.105563
  • 閲覧数38
  • ありがとう数5
  • 気になる数0
  • 回答数1
  • コメント数0

お礼率 60% (15/25)

次の問題が解けません。
「X^2+7≡0 mod p
を満たす解のある素数 p>7 を考える。
p mod 14 はいくつか」
手作業でやってみたところ、
1,7,9,11
が出てきましたが、それ以上のことは分かりません。
解き方の分かる方教えてください。
通報する
  • 回答数1
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

ルジャンドル指標とか平方剰余の相互法則はご存知でしょうか。 aとpが互いに素のときルジャンドル指標(a/p)を次のように定義します。 x^2≡a mod p が解を持つとき  (a/p)=1 x^2≡a mod p が解を持たないとき(a/p)=-1 平方剰余の相互法則とは次の定理のことです。 pとqを相異なる3以上の素数とするとき次が成り立つ。 pとqの少なくともどちらか一方が4で和 ...続きを読む
ルジャンドル指標とか平方剰余の相互法則はご存知でしょうか。

aとpが互いに素のときルジャンドル指標(a/p)を次のように定義します。
x^2≡a mod p が解を持つとき  (a/p)=1
x^2≡a mod p が解を持たないとき(a/p)=-1

平方剰余の相互法則とは次の定理のことです。
pとqを相異なる3以上の素数とするとき次が成り立つ。
pとqの少なくともどちらか一方が4で和って1余る素数のとき (q/p)=(p/q)
pとqが両方とも4でわって3余る素数のとき (q/p)=-(p/q)

また、次も成り立ちます。
(ア)(a^2/p)=1
(イ)((pn+a)/p)=(a/p)
(ウ)(ab/p)=(a/p)(b/p)
(エ)pが4で割って1余るとき(-1/p)=1
pが4で割って3余るとき(-1/p)=-1
(オ)(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}

では、
>「X^2+7≡0 mod p を満たす解のある素数 p>7 を考える。
>p mod 14 はいくつか」
を解きましょう。
まず、p mod 14 で答えの可能性があるのは
p≡1,3,5,9,11,13 だけですね。だからこの6通りについて
X^2+7≡0 mod p すなわち、X^2≡-7 mod p
が解を持つのかどうか考えれば良いですね。
つまり(-7/p)=1になるpを6通りの中から探せばよいのです。
ところで
(-7/p)=(-1/p)(7/p)  ((ウ)より)ですが
pが4で割って1余るとき
   =1*(p/7)=(p/7)  ((エ)と相互法則より)
pが4で割って3余るとき
   =(-1)*(-(p/7))=(p/7)
ですから結局、(p/7)=1となるpを6通りの中から探すことになります。
(ア)よりp≡1,9 mod14のときは(p/7)=1になりますね。
p≡3のとき
(p/7)=((14k+3)/7)=(3/7)  ((イ)より)
=-(7/3)=-(1/3)=-1
p≡5のとき
(p/7)=((14k+5)/7)=(5/7)=(7/5)=(2/5)=(-1)^{(5^2-1)/8}=-1
p≡11のとき
(p/7)=(11/7)=(4/7)=(2^2/7)=1
p≡13のとき
(p/7)=(13/7)=(-1/7)=-1
以上より答えはp≡1,9,11 mod14 となります。


このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ