数列の和の極限を求める方法は？
- 数列の和の極限を求める問題で、規則性が見つけられない。
- 式Sn=Σ[k=1,n](k+1)/(k+2)!の規則性を探すが難しい。
- 他の解き方があるかどうか知りたい。
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数列の和
数列の和の極限を求める問題なのですが、 規則性がなかなか見つけられません。 Sn=Σ[k=1,n](k+1)/(k+2)! やってみた方法としては、 (k+1)/(k+2)!=(k+1)/(k+2)(k+1)k(k-1)… =1/(k+2)k(k-1)… =1/(k+2)k! ここで、1/(k+2)k!=a/(k+2)+b/k!とし、 これを解くと {ak!+b(k+2)}/(k+2)k! b=1/2 となりました。 しかし、この後bを代入して計算しようとしたらつまづいてしまいました。 他に解き方があるのでしょうか？ 教えて頂けたら幸いです。 よろしくお願いします。
- emi1976
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数列の和の極限を求める問題の規則性ですが (k+1)/(k+2)!＝a[k]－a[k+1]の形を作ることを考えましょう。 例えば 1/(k+1)(k+2)の場合は、1/(k+1)－1/(k+2)と式変形しますよね。 すなわち、a[k]＝1/(k+1)となります。 さて、この問題の場合の a[k]ですが、 emi1976さんのやり方ではうまくいきませんね！ 分母に注目して、a[k]＝a/(k+1)! とおいて見ましょう。
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お礼
そのやり方も考えてみました。 たとえば、 1/k(k+1)=1/1*2+1/2*3… =(1-1/2)+(1/2-1/3)+… というよう問題でしたら、規則性を見つけやすいんですけど、階乗の場合どうしたらいいのかわからなくなってしまって…。 早速もう一度やってみます。 ありがとうございました。
補足
できました！！ もっと頭をやわらかく使えるよう、これからもがんばります。どうもありがとうございました。