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数学的帰納法について
taropooの回答
- taropoo
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1+2+…+n = n(n+1)/2なので (1 + 2 + … + k)(1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2 …(A) は n(n+1)/2 * (1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2 すなわち (1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ 2n/(n+1) …(B) と書きなおせますので、式変形の途中でこれを使えばいけます。 i) n=1の時 (右辺)= 1 (左辺)= 1 よって(A)を満たす。 ii) n=kで(A)が成り立つ時、仮定より (1 + 1/2 + … + 1/k) ≧ 2k/(k+1) この時 (1 + 2 + … + k + k+1)(1 + 1/2 + … + 1/k + 1/(k+1)) = (1 + 2 + … + k)(1 + 1/2 + … + 1/k) + (1 + 2 + … + k)/(k+1) + (k+1)(1 + 1/2 + … + 1/k) + (k+1)/(k+1) ≧ k**2 + k(k+1)/2 / (k+1) + (k+1) * 2k/(k+1) + 1 (3項目は(B)より) = k**2 + k/2 + 2k + 1 = (k+1)**2 + k/2 > (k+1)**2 よってn=k+1でも(A)を満たす。 以上により (1 + 2 + … + n)(1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2 (等号成立はn=1の時) が示されました。
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お礼
分かりやすい解答ありがとうございました。 自分の力で出来るように頑張って勉強します。