極限について、おねがいします。

質問

二つ聞きたいです。よろしくおねがいします。
(1)lim（ｘ）＾１／ｘ＝０であるのに、なんでlim（ｎ）＾１／ｎ＝1なんですか？
ともにｘ→正の無限大に発散しｎも同様とする。
(2)ｌｏｇｘ≦ｘ－1はｘ＞０のみでしか成立しない理由はなんでですか？確かにｘ≦０部分はｌｏｇが存在しないけど、不等式の評価はできないんですか？
ついでに(3)もお願いします。できれば教えてもらいたいです。
(3)ｘ＾１/ｘの増減とｌｏｇ1/ｘの増減が一致するのは微分すればわかりますが解ではｌｏｇが増加関数であることより一致するとなっていたのです。なぜ増加関数ならそうなるんですか？

回答No.2

taropoo

まず表記に問題ありです。
> lim（ｘ）＾１／ｘ
と書いてしまうと通常べき乗は四則演算より優先されるので、xの１乗をxで割ったもの（つまり１）と誤解されてしまいます。
limの書き方も含め教えて！ｇｏｏでは
　　　　lim_{x→∞} x^(1/x)
などと書く事が多いです。

次に（１）ですが、
　　　　lim_{x→∞} x^(1/x) = 0　（xは実数)
が正解でしたがって当然
　　　　lim_{n→∞} n^(1/n) = 0　（nは整数）
となります。
　　　　lim_{n→∞} n^(1/n) = 1
は何かの間違いでしょう。

それから（３）。x^(1/x)とlog(1/x)の増減は一致しません。
　　　　{x^(1/x)}' = (1-log x)x^(1/x - 2)
なので0<x<e(eは自然対数)で単調増加、(e<x)で単調減少です。
log(1/x)が(0<x)で単調減少なのはわかりますよね？log xが単調増加、1/xが単調減少だからです。

補足

表記の書き方までありがとうございます。それと早い回答もありがとうございます。補足してください。問題を書き間違えました。
ｘ＾(1/ｘ）とｌｏｇ{ｘ＾(1/X）}の増減の一致でした。
お願いします。