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極限について、おねがいします。
二つ聞きたいです。よろしくおねがいします。 (1)lim(x)^1/x=0であるのに、なんでlim(n)^1/n=1なんですか? ともにx→正の無限大に発散しnも同様とする。 (2)logx≦x-1はx>0のみでしか成立しない理由はなんでですか?確かにx≦0部分はlogが存在しないけど、不等式の評価はできないんですか? ついでに(3)もお願いします。できれば教えてもらいたいです。 (3)x^1/xの増減とlog1/xの増減が一致するのは微分すればわかりますが解ではlogが増加関数であることより一致するとなっていたのです。なぜ増加関数ならそうなるんですか?
- monmonmon
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- siegmund
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siegmund です. ちょっとミスタイプしちゃいました. どうも最近ミスタイプが多くていかんな~. > ついでに > log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞ (x→+0) > lim_{x→+0} x^(1/x) = 0 のところは log{x^(1/x)} = (1/x)log x → - ∞ (x→+0) lim_{x→+0} x^(1/x) = 0 と訂正してください(1行目の右辺の∞の前の負号が抜けました). taropoo さん,適切な補足をありがとうございました.
- taropoo
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siegmundさんのおっしゃる通りで lim_{x→∞} x^(1/x) = 0 (xは実数) lim_{n→∞} n^(1/n) = 0 (nは整数) は lim_{x→∞} x^(1/x) = 1 (xは実数) lim_{n→∞} n^(1/n) = 1 (nは整数) の間違いです。お詫びして訂正いたします。 蛇足かもしれませんが、(3)についてのsiegmundさんのコメントにmonmonmonさんのために補足をすると、 f(y) = log y g(x) = x^(1/x) のことを言っています。つまり f(g(x)) = log {x^(1/x)} ということです。こうすると、f'(y) = 1/y > 0 (つまり単調増加)ですから > df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x) より、d f(g(x)) / dx と g'(x)の符合が一致し、f(g(x))とg(x)の増減が一致すると言う事です。 また何かミスってなければ良いけど。
- siegmund
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表記については taropoo さんの言われるとおりですね. (1) あれ? lim_{x→∞} x^(1/x) = 1 ですよ. 対数をとると, log{x^(1/x)} = (1/x)log x → 0 (x→∞) ですから. 必要ならロピタルの定理を使えばOK. x の代わりが n でも同じことです. ついでに log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞ (x→+0) lim_{x→+0} x^(1/x) = 0 です. taropoo さんもちょっと誤解があるようです. (2) hitomi_sa さんの言われるとおり,定義されていない(値がない)ものについて 大小比較は全く意味がありません. (3) 要するに,f(g(x))の形になっているわけで df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x) ですから,f'(g(x)) > 0 なら,df(g(x))/dx と g'(x) の増減が一致すると 言っているのです. 今は,f が対数関数ですから,g(x)>0 である限り f'(g(x))>0 です (つまり,対数関数が増加関数).
- taropoo
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まず表記に問題ありです。 > lim(x)^1/x と書いてしまうと通常べき乗は四則演算より優先されるので、xの1乗をxで割ったもの(つまり1)と誤解されてしまいます。 limの書き方も含め教えて!gooでは lim_{x→∞} x^(1/x) などと書く事が多いです。 次に(1)ですが、 lim_{x→∞} x^(1/x) = 0 (xは実数) が正解でしたがって当然 lim_{n→∞} n^(1/n) = 0 (nは整数) となります。 lim_{n→∞} n^(1/n) = 1 は何かの間違いでしょう。 それから(3)。x^(1/x)とlog(1/x)の増減は一致しません。 {x^(1/x)}' = (1-log x)x^(1/x - 2) なので0<x<e(eは自然対数)で単調増加、(e<x)で単調減少です。 log(1/x)が(0<x)で単調減少なのはわかりますよね?log xが単調増加、1/xが単調減少だからです。
- hitomi_sa
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こんばんは。 (2)だけね。 x≦0においては、log x (対数の底はe)を定義しない ことになっているので、値が存在せず、値が存在しないと いううことは、当然不等式がうんぬんという話も出てきません。 値が2つ存在して、はじめて大きいとか小さいとか比較が できるからね。
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