ゼロの証明方法

質問

「ゼロの証明」っていうのがあると聞いたのですが、果たして可能なのでしょうか？
どうやら４通りのやり方があるそうなのですが・・・

ゼロにどんな数を掛けてもゼロになるからゼロなのでしょうか？ これって証明になってないかも・・

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

＞「数学的に」証明するためには公理が必要で、そもそも～
まさに、そういうことです。
何を公理とするかは自由なので、「ゼロの存在」が公理ではない公理系もあるとは思いますが、普通は「ゼロの存在」は公理にします。

ちなみに、このよく使われる公理系では、「ゼロという数が唯一つ存在すること」以外に、ゼロの性質として、
「xが自然数のとき、x+1はゼロではない」
を公理にしています。

なので、
＞ゼロにどんな数を掛けてもゼロになるからゼロなのでしょうか？
これは、公理ではないので証明できます。他にも
「どんな数にゼロを足しても、元と同じ数になる」
も証明できます。

お礼

なるほど！ 結構ためになりました。
なお、過去にも同じような質問をされている方がいらっしゃり、そちらのほうも参照しました。
あいまいな質問に親切に答えていただきありがとうございました。

回答No.1

yaksa

答えがつきにくい質問だと思うので。まず、何か言ってみます。

「ゼロが存在すること」を証明しろということですか？
「哲学的に」証明しろ、ということなら何かいい方法があるのかもしれませんが、
「数学的に」証明しろということなら、まず使っていい公理を示してくれないと証明しようがない、ということなります。
数学は、いくつかの公理（証明なしに、まず認めようと決めたこと）をもとに論議を始めるので、公理が与えられないことには何もできません。

で、いろいろな流儀があるとは思いますが、
「0という自然数があること」は、
自然数の定義で多くの場合、公理としています。
（数学の公理系では、0を自然数に含めることが多いです）
この流儀に従えば、当然ながら証明はできないですね。

＃ゼロが存在しないとすると、和が（整数・実数などで）群にならないので、すごく不便でしょうね。

補足

ありがとうございます。
どうやら曖昧な質問だったみたいですね。

仰るとおり「ゼロが存在すること」を証明できるのか、
ということなのですが、
「数学的に」証明するためには公理が必要で、そもそも０という数字は多くの場合公理とされている。公理を証明することは不可能・・
ということでしょうか。

この質問は授業中に先生が（冗談半分で？）仰ったことなので、公理が必要だったとは知りませんでした。当方、数学は全く駄目でして。。

となると、「哲学的に」証明するしかないようですね。
しかしこれは数学とはまた違った分野になるのかも・・・