極限について。

質問

質問１　左方極限と右方極限の違いはなんですか？
質問２　COSθをθ→＋０とすると１ですがCOSθをθ→－０はいくつですか？
質問３　どうやってCOSθ→１（θ→＋０）を計算してるんですか？

回答No.5

oodaiko

補足質問にお答えします。
＞『関数ｆ(ｘ)が連続 ⇔ 右極限＝左極限』である！！
『関数ｆ(ｘ)が連続 ⇒ 右極限＝左極限』は正しいですが逆は言えません。
それは次の補足質問に対する回答のように「左右の極限は等しくてもｆ(ａ)の値はそれと等しくない」
ものがあるからです。
最初の回答に書いたようにｆ(ｘ)は連続というのは
「左右の極限が等しく、かつｆ(ａ)の値もそれと等しい」
場合です。（下の例のようなグラフを考えてみればわかると思います）

＞「左右の極限は等しくてもｆ(ａ)の値はそれと等しくない」の具体例
グラフを書いてみれば簡単にわかります。ついでですから
左右の極限が等しくない例と一緒に考えてみましょう。aは原点とします。
１.
f(x)＝x-1 （x≦0）
f(x)＝x+1 (x＞0)
右極限と左極限が異なり、かつf(a)は左極限と等しくなる例です。

２.
f(x)＝x-1 （x＜0）
f(x)＝ 0 （x＝0）
f(x)＝x+1 (x＞0)
右極限と左極限が異なり、かつf(a)はどちらの極限とも等しくない例です。

３.
f(x)＝ 0 （x＝0）
f(x)＝x+1 (x≠0)
右極限と左極限は一致し、かつf(a)はどちらの極限とも等しくない例です。

４.
f(x)＝x
右極限と左極限は一致し、かつf(a)もその極限とも等しくなる例です。
（連続というのはこの場合です。）

ついでですからGstavさんの回答に対する補足質問にも回答しておきましょう。
＞どこでｘ→－０を用いてるんですか？別にｘ→０でなくてもよいことにはなりませんか？

f(x)のaにおける極限と言うのはxをaに近付けていった時に近付く値であって、a以外でのxの値
というわけではありません。
f(x)＝x/|x|のグラフは下のようになります。（x=0では定義されない）
この場合f(x)はx＜0で「定数」ですが、それでも「関数」であることに変わりはありません。
従って「関数」としての極限を考えると
lim_{x→ -0}f(x) ＝lim_{x→ -0} -1 ＝ -1
ということになります
この場合はたまたま関数の値が定数なのでｘ → －０としなくても ｘ → －０とした場合の極限値
と等しくなっているだけのことです。このグラフを４５°傾けたもの；すなわち
f(x)＝x-1 （x＜0）
f(x)＝x+1 (x＞0)
のグラフを考えてみればわかると思います。
　　　　　y
　　　　　│　　　　　　
　　　　　○━━━━━　
　　　　　│　　　　　　
　　　　　│　　　　　　
　　　　　│　　　　　　
─────┼─────　x
　　　　　│　　　　　　
　　　　　│　　　　　　
　　　　　│　　　　　　
━━━━━○　　　　　　
　　　　　│

回答No.4

Gstav

質問１の補足です。
例えば、ｘ／｜ｘ｜で説明します。
ｘ＝０における左極限は、負の側から近づけるので、｜ｘ｜＝－ｘ　となり、－１
ｘ＝０における左極限は、正の側から近づけるので、｜ｘ｜＝ｘ　となり、１
このように、左方極限と右方極限が異なるもので考えるとイメージしやすいと思います。
１／ｘ　などもｘ＝０における右方極限と左方極限の異なるものです。

蛇足：高校における連続の定義ですが、
lim(x→a+0)f(x)＝lim(x→a-0)f(x)=f(a)が成り立つとき、
f(x)はｘ＝ａで連続であるといい、全ての実数ａでこれが成り立てば、
f(x)は連続関数である、といいます。
f(θ)＝COSθ　は連続関数ですから、右方極限と左方極限を意識する必要はありませんので、単純にθ→０のとき１でいいと思います。

さらに蛇足：
Ａ(１，０)と原点Ｏを中心とする半径１の円があって、
この円周上の点Ｐ（ｘ，ｙ）に対し、「反時計回りに」∠ＯＡＰを計った角に対する弦の長さ（方向付）をθとすると、sinθ＝ｙ,cosθ＝ｘ　である。
θ＝０のとき、点ＰはＡ（１，０）と一致するから、cos０＝１　です。

補足

ｘ／｜ｘ｜の説明について教えてください。
ｘ＝０における左方極限は、負の側から近づけるので、｜ｘ｜＝－ｘとなり、－１である。の所で疑問点が出てきました。
負の側から近づけるので、｜ｘ｜＝－１はいいんですが、そしたら、－ｘ／ｘとなり約分されて－１になります。確かに答えは一致しますがどこでｘ→－０を用いてるんですか？別にｘ→０でなくてもよいことにはなりませんか？（だって約分されて－1になるんだから）
補足よろしくおねがいします。

回答No.3

noname#181872

質問１　左方極限と右方極限の違いはなんですか？

極限を左から近づけるか、右から近づけるかです。

質問２　COSθをθ→＋０とすると１ですがCOSθをθ→－０はいくつですか？

cosθのグラフから考えると（常に連続ですし）、cosθをθ→－０と
したとき1になりませんか？cosθのグラフは0から2πの動きを1周期とし、
ひたすらそれを繰り返しますから。

また、θ=-kとおくと、求める値はcos(-k)をk→+0ですね。
cos(-k)=coskなので1ですよね。

質問３　どうやってCOSθ→１（θ→＋０）を計算してるんですか？

単純に考えて、
COSθは直角三角形のθの角を共有している辺の比ですよね。
θが小さくなれば、斜辺ともう一つの辺の長さが同じくらいに
なるのでは？というのはどうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。三番目の解説がとってもわかりやすかったです。もうすぐ夏休みですね。勉強も大変になると思いますので、質問回数も増えます。その時には、どうかよろしくおねがいします。

回答No.2

oodaiko

書き直すつもりで回答ボタンを押してしまったので追加します。

本当はcosθが連続関数であることも証明しなければいけないのですが、それをきちんとやるには
ε－δ法という方法が必要になります。この方法は理工系の大学へ入れば「解析学概論」などの
授業で真っ先に学習するはずですが、受験問題なら「グラフがつながっているからcosθは連続」
と言ってしまっても問題はないと思います。
（本当に大丈夫かどうかは自信がないので高校数学のカリキュラムおよび大学受験問題に詳しい方
のフォローをお願いします。）

回答No.1

oodaiko

質問１.
monmonmonさんが下で書いているx→ +0とx→ -0の違いです。
関数f(x)で x→+aとしたときの極限がf(x)のaにおける右極限、
x→ -aとしたときの極限がf(x)のaにおける左極限です。
要するにxを正方向から（右側から）近付けた時の極限を右極限
負方向から（左側から）近付けた時の極限を左極限と言います。

そして関数f(x)のaにおける右極限がf(a)に一致する時；すなわち
lim_{x→ +a}f(x) ＝ f(a) のときfはaで右連続であると言い、
同様にaにおける左極限がf(a)に一致する時；すなわち
lim_{x→ -a}f(x) ＝ f(a) のときfはaで左連続であると言います。

更に言えば関数f(x)がaにおいて連続であると言うのは
f(x)のaにおける右極限と左極限が一致し、（もちろん各極限が存在しなければいけません）
さらにそれがf(a)に等しい時；すなわち
lim_{x→+a}f(x) ＝f(a)＝lim_{x→ -a}f(x)
となるとき、関数f(x)はaにおいて連続であると言います。

質問２.３
cosθはθ＝0で（実はすべての実数で）連続なので、上で書いたようにθ＝0における
右極限と左極限は一致し、その値はf(0)に等しくなります。すなわち
lim_{θ→ +0} cosθ ＝cos 0 ＝ １＝ lim_{θ→ -0} cosθ
従って質問２の回答は１です。
また質問３.の回答は単に cos 0 を考えれば良いのです。

ただし極限値が cos 0 になる、と言うのはcosθが連続関数だから言えることであって、
右極限と左極限が等しくない、あるいは左右の極限は等しくてもf(a)の値はそれと
等しくないような関数の場合は単純にf(a)の値を極限値とする、というわけにはいきません。
一般的に極限値を求める方法は問題に応じていろいろなやり方があり、すべての場合
に通用する方法はありません。

補足

答えてくださってありがとうございます。大変わかりやすいです。
確認を取りたいんですがいいですか？
『関数ｆ(ｘ)が連続⇔右極限＝左極限』である！！
それと最後の文の「左右の極限は等しくてもｆ(ａ)の値はそれと等しくない」の具体例をあげてもらえませんでしょうか？