図形

質問

半径3の円に内接する三角形ＡＢＣがあり、ＡＢ＝5,AC=2とする。
このとき辺ＢＣの長さを求める問題

(1) 長さ 5 の線分 AB を引く。
　　　(2) その両端から長さ 3 の位置に外接円の中心 O を取る。
　　　(3) O を中心として半径 3 の円 O を描く。
　　　(4) A を中心として半径 2 の円を描き，円 O との交点を C とすることを考えたのですが
図で考えると2通りの図ができますが
なぜ、LＣとLＡは純格といえるのですか？

それから、図を使わない方法はありますか？

回答No.5

noname#17965

＃４です。補足します。
円周角の定理：
本来は図で説明するべきものを文で説明しますので分かり難い部分はごめんなさい。
（１）円周上にどこでもいいので点Ａ、点Ｂの２点を取る
（２）２点から円の中心Ｏまで線分を２本引く
（３）２本の線分で出来る∠ＡＯＢを「中心角」という
（４）さらにどこでもいいので円周上に新しい点Ｃを取る
（５）点Ａ、点Ｂから点Ｃまで線分を２本引く
（６）出来た∠ＡＣＢを「円周角」という

さて、中心角と円周角の間にはある法則があり、
「円周角＝中心角の半分」
これが円周角の定理です。

注意：中心角は必ず２つ出来ます。片方が８０°だったらもう一方は３６０°－８０°＝２８０°というふうに。自分で考えている円周角に対する正しい中心角がどちらなのか判断する必要があります。図で説明出来たらすぐなんですが・・・

面白い例として、円の中心Ｏを通る線分ＡＢ（要するに直径）を引きます。これって中心角１８０°ですよね。円周上にどこでもいいので点Ｃを取って円周角∠ＡＣＢを引くと、必ず直角（９０°）になるんです。だって１８０°の半分ですから。

「分度器使わずに直角を作れ！！」と言われたら、コンパスで円書いて、直径書いて、円周角を書けばそれが直角ってことです。

回答No.4

noname#17965

確かに２通りの図が出来ますね。辺ＡＢに対して
（１）点Ｃの位置が辺ＡＢを挟んで中心Ｏと反対側にある
（２）点Ｃの位置が中心Ｏと同じ側にある

∠Ｃと∠Ａは両方とも同時に鈍角にはなりません。図が２種類ありますが、（１）なら∠Ａは鋭角、∠Ｃは鈍角です。（２）は反対です。説明は、、、円周角の定理はもう習いましたか？これを知っているものとして説明します。

（１）の図で説明します。
∠Ｃが鈍角の証明
∠Ｃを円周角と考えると、中心角は∠ＡＯＢである。
∠ＡＯＢは図より明らかに１８０°より大きい。
従って∠ＡＯＢの円周角∠Ｃはその半分の角度であるので、９０°より大きい。従って鈍角

∠Ａが鋭角の証明
∠Ａを円周角とすると対応する中心角は∠ＢＯＣだが、
∠ＢＯＣは図より明らかに１８０°より小さい。
従って∠Ａはその半分の角度なので９０°より小さい。
従って∠Ａは鋭角。

図形問題なのだから、図を使わない方法は無いでしょう。

補足

円周角の定理はわかりません。
教えてもらえますか？
何度もすいません

回答No.3

apfel99

確かに、図で確認できるように頂点Cの取り方は2通りあって、角Aや角Cはそれぞれ鋭角か鈍角の両方が考えられます。
答えつまり辺BCの長さも2通り求まります。

作図をしなくても三角関数の定理などを使えば
式だけから正しく答えを求めることができます。

まず正弦定理を使って、
AB/sin(C)=2*R
AB=5、R=3なので
5/sin(C)=6
sin(C)=5/6
ここで角Cは三角形の頂点なので0度より大きく180度より小さいです。
この範囲でsinが5/6となる角度は2つあり、
角C＝約56度または約124度、と分かります。

次に、辺ACと角Bについても正弦定理を使って
AC/sin(B)=2*R
上と同様に
sin(B)=1/3 となり
角B＝約19度または約161度、と出ますが、
三角形の内角の和は180度なので、角Cが小さくても約56度ある以上、角Bが約161度にはなり得ません。
よって
角B＝約19度(鋭角)と分かります。

次に、sin^2(B)+cos^2(B)=1 を使って、
cos^2(B)=1-sin^2(B)
ここで角Bは鋭角つまりcos(B)>0より
cos(B)=√(1-sin^2(B))
cos(B)=2/3*√2

つぎに余弦定理を使い、
AC^2=AB^2+BC^2-2*AC*BC*cos(B)
ここでAC=2、AB=5と上で求めたcos(B)を代入して
4=25+BC^2-2*5*2/3*√2*BC
整理して
BC^2 - 20/3*√2 BC + 21 = 0
BCについての2次方程式ですから、
解の公式を使って解いて
BC = 10/3*√2 ± 1/3*√11

数値で求めると
BC = 約3.61 または 約5.82 となります。

ちなみに、
BC=約3.61 のとき、
角A=約37度、角B=約19度、角C=約124度。
BC=約5.82 のとき、
角A=約105度、角B=約19度、角C=約56度。
という三角形になります。

回答No.2

eatern27

＞なぜ、LＣとLＡは純格といえるのですか？
「なぜ、∠Ｃと∠Ａは鈍角といえるのですか？」という意味で書いたものですか？

＞図で考えると2通りの図ができますが
この2通りのうち一方の∠Ｃは、確かに鈍角だと思いますが、他方の∠Ｃと、∠Ａは鋭角だと思います。

どうして、「∠Ｃと∠Ａは鈍角と言える」と思ったのですか？

(もしくは、「なぜ、∠Ｃと∠Ａは鈍角といえるのですか？」というのが違ったら、どういう意味で書いたのかを補足してください)

回答No.1

graduate_student

まず，正弦定理を使います．
2/sin(B)=2*3
⇔sin(B)=1/3

次に，cos(B)をもとめて，BC=xと置き，余弦定理を使います．